Question

6．已知A、B為拋物線y²=2px（p＞0）上不同的兩個動點（A、B都不與原點重合），且OA⊥OB，OM⊥AB于M．
（Ⅰ）當點M的軌跡經過點（2，1）時，求p的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先證明直線l過定點（2p，0），再利用OM⊥AB，M（2，1），建立方程，求p的值；
（Ⅱ）由（I）可知M的軌跡是以（0，$\frac{5}{2}$）為直徑的圓（除去定點），即可求點M的軌跡方程．

解答 解：（Ⅰ）當直線斜率存在時，設直線方程為y=kx+b．
聯立拋物線方程消去y得k²x²+（2kb-2p）x+b²=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意得x₁+x₂=$\frac{2p-2kb}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{2bp}{k}$
所以由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0
所以b=-2pk，①代入直線方程得y=kx-2pk=k（x-2p），
所以直線l過定點（2p，0）
∵OM⊥AB，M（2，1），
∴$\frac{1}{2}×\frac{1}{2-2p}$=-1.$p=\frac{5}{4}$；
（Ⅱ）設M（x，y），則由（I）可知M的軌跡是以（$\frac{5}{4}$，0）為圓心，直徑為$\frac{5}{2}$的圓（除去定點），方程為${x^2}+{y^2}-\frac{5}{2}x=0$（x≠0）．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．