Question

1．已知f（x）=1n（1+x）-$\frac{x（x+a）}{a（x+1）}$（a＞1）．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）證明：（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{4}^{2}}$）…（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜e${\;}^{\frac{3}{4}}$（n∈N*，n≥2）．

Answer 1

分析 （1）由函數的解析式求得函數的定義域，再求出f′（x），分類討論a的范圍，求得f′（x）的符號，從而求得函數f（x）的單調區間．
（2）利用導數求得g（x）=x²-ln（1+x²）是增函數，可得當x＞0時，1n（1+x²）＜x²．再用放縮法證得ln（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{4}^{2}}$）…（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜$\frac{3}{4}$，從而證得要證的不等式成立．

解答 解：（1）∵f（x）=1n（1+x）-$\frac{x（x+a）}{a（x+1）}$（a＞1），故函數的定義域為（-1，+∞），
∴f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{（2x+a）•a（x+1）-{（x}^{2}+ax）•a}{{a}^{2}{•（x+1）}^{2}}$=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{{ax}^{2}+2ax{+a}^{2}}{{a}^{2}{•（x+1）}^{2}}$=$\frac{-x•[x-（a-2）]}{a{•（x+1）}^{2}}$，
令f′（x）=0，求得x=0，或 x=a-2＞-1，
當1＜a＜2時，a-2＜0，函數的增區間為（-1，a-2）、（0，+∞）；減區間為（a-2，0）．
 當a=2時，a-2=0，f′（x）=$\frac{{-x}^{2}}{{a}^{2}{•（x+1）}^{2}}$≤0，函數f（x）在（-1，+∞）上單調遞減．
當a＞2時，a-2＞0，函數的增區間為（-1，0）、（a-2，+∞）；減區間為（0，a-2）．
（2）證明：設x＞0，令g（x）=x²-ln（1+x²），得g′（x）=2x-$\frac{2x}{1{+x}^{2}}$=$\frac{{2x}^{3}}{1{+x}^{2}}$≥0，
∴g（x）在（0，+∞）上單調遞增，故g（x）＞g（0）=0，
即當x＞0時，1n（1+x²）＜x²．
∴1n（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）＜$\frac{1}{{2}^{2}}$，1n（1+$\frac{1}{{3}^{2}}$）＜$\frac{1}{{3}^{2}}$，1n（1+$\frac{1}{{4}^{2}}$）＜$\frac{1}{{4}^{2}}$，…，1n（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴1n（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）+1n（1+$\frac{1}{{3}^{2}}$）+1n（1+$\frac{1}{{4}^{2}}$）+…+1n（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$ 
＜$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{2•3}$+$\frac{1}{3•4}$+…+$\frac{1}{（n-1）•n}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{n}$＜$\frac{3}{4}$，
∴（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{4}^{2}}$）…（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜${e}^{\frac{3}{4}}$．

點評 本題考查函數的單調性的討論，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意累加法、構造法、導數性質的合理運用，屬于難題．