Question

【題目】若函數y=f（x）在x=x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數y=f（x）的極值點．已知a，b是實數，1和﹣1是函數f（x）=x3+ax2+bx的兩個極值點．
（1）求a和b的值；
（2）設函數g（x）的導函數g′（x）=f（x）+2，求g（x）的極值點；
（3）設h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈[﹣2，2]，求函數y=h（x）的零點個數．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 f（x）=x3+ax2+bx，得 f′（x）=3x2+2ax+b．

∵1和﹣1是函數f（x）的兩個極值點，

∴f′（1）=3﹣2a+b=0，f′（﹣1）=3+2a+b=0，解得a=0，b=﹣3

（2）解：由（1）得，f（x）=x3﹣3x，∴g′（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2）=0，解得x1=x2=1，x3=﹣2．

∵當x＜﹣2時，g′（x）＜0；當﹣2＜x＜1時，g′（x）＞0，

∴﹣2是g（x）的極值點．

∵當﹣2＜x＜1或x＞1時，g′（x）＞0，∴1不是g（x） 的極值點．

∴g（x）的極值點是﹣2．

（3）解：令f（x）=t，則h（x）=f（t）﹣c．

先討論關于x的方程f（x）=d根的情況，d∈[﹣2，2]

當|d|=2時，由（2 ）可知，f（x）=﹣2的兩個不同的根為1和一2，注意到f（x）是奇函數，

∴f（x）=2的兩個不同的根為﹣1和2．

當|d|＜2時，∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0，f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0，

∴一2，﹣1，1，2 都不是f（x）=d 的根．

由（1）知，f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．

①當x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，于是f（x）是單調增函數，從而f（x）＞f（2）=2．

此時f（x）=d在（2，+∞）無實根．

②當x∈（1，2）時，f′（x）＞0，于是f（x）是單調增函數．

又∵f（1）﹣d＜0，f（2）﹣d＞0，y=f（x）﹣d的圖象不間斷，

∴f（x）=d在（1，2 ）內有唯一實根．

同理，在（一2，一1）內有唯一實根．

③當x∈（﹣1，1）時，f′（x）＜0，于是f（x）是單調減函數．

又∵f（﹣1）﹣d＞0，f（1）﹣d＜0，y=f（x）﹣d的圖象不間斷，

∴f（x）=d在（一1，1 ）內有唯一實根．

因此，當|d|=2 時，f（x）=d 有兩個不同的根 x1，x2，滿足|x1|=1，|x2|=2；當|d|＜2時，f（x）=d 有三個不同的根x3，x4，x5，滿足|xi|＜2，i=3，4，5．

現考慮函數y=h（x）的零點：

（i）當|c|=2時，f（t）=c有兩個根t1，t2，滿足|t1|=1，|t2|=2．而f（x）=t1有三個不同的根，f（x）=t2有兩個不同的根，故y=h（x）有5 個零點．

（ii）當|c|＜2時，f（t）=c有三個不同的根t3，t4，t5，滿足|ti|＜2，i=3，4，5．

而f（x）=ti有三個不同的根，故y=h（x）有9個零點．

綜上所述，當|c|=2時，函數y=h（x）有5個零點；當|c|＜2時，函數y=h（x）有9 個零點．

【解析】（1）求出 導函數，根據1和﹣1是函數的兩個極值點代入列方程組求解即可．（2）由（1）得f（x）=x3﹣3x，求出g′（x），令g′（x）=0，求解討論即可．（3）先分|d|=2和|d|＜2討論關于的方程f（x）=d的情況；再考慮函數y=h（x）的零點．
【考點精析】本題主要考查了函數的極值和函數的零點的相關知識點，需要掌握極值反映的是函數在某一點附近的大小情況；函數的零點就是方程的實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標．即：方程有實數根，函數的圖象與坐標軸有交點，函數有零點才能正確解答此題．