Question

已知x₁，x₂是關于x的一元二次方程x²+ax+2b=0的兩個實數根，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2）．則

b-2

a-1

的取值范圍是______．

Answer 1

解；∵x₁，x₂是關于x的一元二次方程x²+ax+2b=0的兩個實數根，
∴設函數f（x）=x²+ax+2b，
∵x₁∈（0，1），x₂∈（1，2）．
∴

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，即

2b＞0 a+2b+1＜0 2a+2b+4＞0

，
作出不等式組對應的平面區域如圖：
設z=

b-2

a-1

，則z的幾何意義是區域內的點P（a，b）到定點A（1，2）兩點之間斜率的取值范圍，
由圖象可知當P位于點B（-3，1）時，直線AB的斜率最小，此時kAB=

1-2

-3-1

=

1

4

，
可知當P位于點D（-1，0）時，直線AD的斜率最大，此時kAD=

0-2

-1-1

=1，
∴

1

4

＜z＜1，
則

b-2

a-1

的取值范圍是(

1

4

，1)．
故答案為：(

1

4

，1)．