Question

函數(shù)y=

x2+x+1

x2+2x+1

的值域是

[

3

4

，+∞）

．

Answer 1

分析：可得函數(shù)的定義域，當x=0時，可得y=1；當x≠0時，可得y=1-

1

x+ 1 x +2

，分x＞0和x＜0由基本不等式可得，綜合可得值域．

解答：解：由x²+2x+1≠0可得x≠-1，
故函數(shù)的定義域為：{x|x≠-1}，
化簡可得y=

x2+x+1

x2+2x+1

=

x2+2x+1-x

x2+2x+1

=1-

x

x2+2x+1

當x=0時，可得y=1；   ①
當x≠0時，可得y=1-

1

x+ 1 x +2

，
由基本不等式可得當x＞0時，x+

1

x

≥2，
由不等式的性質(zhì)可得0＜

1

x+ 1 x +2

≤

1

4

，
故可得y=1-

1

x+ 1 x +2

∈[

3

4

，1），②
當x＜0時，x+

1

x

＜-2，（x≠-1）
由不等式的性質(zhì)可得

1

x+ 1 x +2

＜0，
故可得y=1-

1

x+ 1 x +2

∈（1，+∞）    ③
綜合①②③可得y∈[

3

4

，+∞）
故答案為：[

3

4

，+∞）

點評：本題考查函數(shù)的值域，涉及基本不等式的應(yīng)用和分類討論的思想，屬中檔題．