Question

5．某創業團隊擬生產A、B兩種產品，根據市場預測，A產品的利潤與投資額成正比（如圖1），B產品的利潤與投資額的算術平方根成正比（如圖2）．（注：利潤與投資額的單位均為萬元）
（1）分別將A、B兩種產品的利潤f（x）、g（x）表示為投資額x的函數；
（2）該團隊已籌到10萬元資金，并打算全部投入A、B兩種產品的生產，問：當B產品的投資額為多少萬元時，生產A、B兩種產品能獲得最大利潤，最大利潤為多少？

Answer 1

分析 （1）由A產品的利潤與投資額成正比，B產品的利潤與投資額的算術平方根成正比，結合函數圖象，我們可以利用待定系數法來求兩種產品的收益與投資的函數關系；
（2）由（1）的結論，我們設B產品的投資額為x萬元，則A產品的投資額為10-x萬元．這時可以構造出一個關于收益y的函數，然后利用求函數最大值的方法進行求解．

解答 解：（1）f（x）=k₁x，g（x）=k₂$\sqrt{x}$，
f（1）=0.25=k₁，g（4）=2k₂=2.5，
∴f（x）=0.25x（x≥0），g（x）=1.25$\sqrt{x}$（x≥0），
（2）設B產品的投資額為x萬元，則A產品的投資額為10-x萬元．
y=f（10-x）+g（x）=0.25（10-x）+1.25$\sqrt{x}$（0≤x≤10），
令t=$\sqrt{x}$，則y=-0.25t²+1.25t+2.5，
所以當t=2.5，即x=6.25萬元時，收益最大，y_max=$\frac{65}{16}$萬元．

點評 函數的實際應用題，我們要經過析題→建模→解模→還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（小）化問題，利用函數模型，轉化為求函數的最大（小）是最優化問題中，最常見的思路之一．