Question

13．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，F為線段BC₁的中點，E為直線A₁C₁上的動點，則下列結論中正確的為（　　）

• A． 存在點E使EF∥BD₁
• B． 不存在點E使EF⊥平面AB₁C₁D
• C． 三棱錐B₁-ACE的體積為定值
• D． EF與AD₁不可能垂直

Answer 1

分析 A．點E除了取直線A₁C₁上的C₁外的任意一點，則EF與BD₁為異面直線，即可判斷出結論；
B．點E取A₁C₁的中點時，使EF⊥平面AB₁C₁D，即可判斷出正誤．
C．由于△ACE的面積=$\frac{1}{2}$${S}_{矩形AC{C}_{1}{A}_{1}}$，點B₁到平面ACC₁A₁的距離=$\frac{1}{2}$B₁D₁為定值，可得三棱錐B₁-ACE的體積為定值，即可判斷出正誤．
D．點E取點A₁時，可得EF與AD₁垂直，即可判斷出正誤．

解答 解：A．點E除了取直線A₁C₁上的C₁外的任意一點，則EF與BD₁為異面直線，因此不正確；
B．點E取A₁C₁的中點時，使EF⊥平面AB₁C₁D，因此不正確．
C．由于△ACE的面積=$\frac{1}{2}$${S}_{矩形AC{C}_{1}{A}_{1}}$，點B₁到平面ACC₁A₁的距離=$\frac{1}{2}$B₁D₁為定值，因此三棱錐B₁-ACE的體積為定值，正確．
D．點E取點A₁時，可得EF與AD₁垂直，因此不正確．
故選：C．

點評 本題考查了正方體的性質、空間線面位置關系、三棱錐體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．