Question

2．函數f（x）在定義域（0，+∞）內恒滿足：①f（x）＞0；②2f（x）＜xf′（x）＜3f（x），其中f′（x）為f（x）的導函數，則（　　）

• A． $\frac{1}{4}$＜$\frac{f（1）}{f（2）}$＜$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{16}$＜$\frac{f（1）}{f（2）}$＜$\frac{1}{8}$
• C． $\frac{1}{3}$＜$\frac{f（1）}{f（2）}$＜$\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{8}$＜$\frac{f（1）}{f（2）}$＜$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 分別構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，x∈（0，+∞），利用導數研究其單調性即可得出．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），
g′（x）=$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
∵?x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，
∴f（x）＞0，
0＜$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
∴g′（x）＞0，
∴函數g（x）在x∈（0，+∞）上單調遞增，
∴g（1）＜g（2），即4f（1）＜f（2），$\frac{f（1）}{f（2）}$＜$\frac{1}{4}$；
令h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，x∈（0，+∞），
h′（x）=$\frac{xf′（x）-3f（x）}{{x}^{4}}$，
∵?x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，
∴h′（x）=$\frac{xf′（x）-3f（x）}{{x}^{4}}$＜0，
∴函數h（x）在x∈（0，+∞）上單調遞減，
∴h（1）＞h（2），即f（1）＞$\frac{f（2）}{8}$，$\frac{f（1）}{f（2）}$＞$\frac{1}{8}$，
故選：D．

點評 本題考查了利用導數研究其單調性極值與最值、構造函數法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．