Question

17．在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-3t}\\{y=-2+4t}\end{array}\right.$（t為參數）．以坐標原點為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρcosθ=tanθ．
（Ⅰ）求曲線C₁的普通方程與曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）若C₁與C₂交于A，B兩點，點P的極坐標為$（{2\sqrt{2}，-\frac{π}{4}}）$，求$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-3t}\\{y=-2+4t}\end{array}\right.$（t為參數）．消去參數t可得普通方程．曲線C₂的極坐標方程為ρcosθ=tanθ，可得ρ²cos²θ=ρsinθ，把互化公式代入可得直角坐標方程．
（II）點P的極坐標為$（{2\sqrt{2}，-\frac{π}{4}}）$，可得直角坐標P（2，-2）．直線C₁的參數方程化為標準方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{3}{5}t}\\{y=-2+\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數）．代入方程拋物線方程可得：9t²-80t+150=0，可得$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}$．

解答 解：（I）曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-3t}\\{y=-2+4t}\end{array}\right.$（t為參數）．消去參數t可得普通方程：4x+3y-2=0．
曲線C₂的極坐標方程為ρcosθ=tanθ，可得ρ²cos²θ=ρsinθ，可得直角坐標方程：x²=y．
（II）點P的極坐標為$（{2\sqrt{2}，-\frac{π}{4}}）$，可得直角坐標P（2，-2）．
直線C₁的參數方程化為標準方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{3}{5}t}\\{y=-2+\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數）．
代入方程：x²=y．可得：9t²-80t+150=0，
∴t₁+t₂=$\frac{80}{9}$，t₁t₂=$\frac{150}{9}$．
∴$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{\frac{80}{9}}{\frac{150}{9}}$=$\frac{8}{15}$．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、參數的應用、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．