Question

3．若平面向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$滿足|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≤2$\sqrt{2}$，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最小值是-1．

Answer 1

分析 把|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≤2$\sqrt{2}$兩邊平方，可得$4{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}≤8+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，利用基本不等式得到$-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}≤8+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最小值可求．

解答 解：∵平面向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$滿足|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≤2$\sqrt{2}$，
∴$（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}≤8$，即$4{\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}≤8$，得$4{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}≤8+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，
又$4{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}≥2\sqrt{4{\overrightarrow{a}}^{2}•{\overrightarrow{b}}^{2}}=4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$$≥-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，
∴$-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}≤8+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}≥-1$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的最小值是-1，
故答案為：-1．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，訓練了利用基本不等式求最值，體現了數學轉化思想方法，是中檔題．