Question

設函數 ．

（1） 當時，求函數的極值；

（2）若，證明：在區間內存在唯一的零點；

（3）在（2）的條件下，設是在區間內的零點，判斷數列的增減性.

 

Answer 1

（1）極大值，無極小值；（2）詳見解析；（3）數列是單調遞減.

【解析】

試題分析：（1）當時，函數，于是可利用導數研究函數的單調性與極值；

（2）當時，

要證在區間內存在唯一的零點，只要證在區間內單調且即可；

（3）先求和，再根據得到，結合（2）的結論：函數在區間內是單調遞增的，從而得到，結論得證.

【解析】
（1）由已知，得：

由得：

當時，單調遞增

當時，單調遞減

所以是函數的極大值點，無極小值點

故的極大值為，無極小值.

（2）由已知，得：

∴易得： 于是在區間內存在零點；

又當時，恒成立

∴函數在區間內是單調遞增的

故在區間內存在唯一的零點． （8分）

解:（3）：數列是單調遞減的. 理由如下： （9分）

由（2）設 是在內唯一的零點，

則

又，

于是

即

由（2）在上是單調遞增的，

∴當時，．

故數列是單調遞減的. （14分）

考點：1、函數的零點存在性的判斷；2、導數在研究函數性質中的應用；3、利用函數的思想解決數列的單調性問題.