Question

6．若數列{a_n}的通項公式${a_n}=\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}（n∈{N^*}）$，記f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）
（1）計算f（1），f（2），f（3）的值；
（2）由（1）猜想f（n），并證明．

Answer 1

分析 （1）根據公式計算；
（2）猜想結論，利用數學歸納法證明．

解答 解：（1）a₁=$\frac{1}{（1+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$，a₂=$\frac{1}{（2+1）^{2}}$=$\frac{1}{9}$，a₃=$\frac{1}{（3+1）^{2}}$=$\frac{1}{16}$．
∴f（1）=1-a₁=$\frac{3}{4}$，
f（2）=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）=$\frac{2}{3}$，
f（3）=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）=$\frac{5}{8}$．
（2）猜想：$f（n）=\frac{n+2}{2n+2}$，
證明如下：
當n=1時，結論顯然成立，
假設n=k時，結論成立，即f（k）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_k）=$\frac{k+2}{2k+2}$，
則當n=k+1時，f（k+1）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_k）（1-a_k+1）=f（k）（1-a_k+1）
=$\frac{k+2}{2k+2}$•（1-$\frac{1}{（k+2）^{2}}$）=$\frac{k+2}{2k+2}$•（1+$\frac{1}{k+2}$）（1-$\frac{1}{k+2}$）=$\frac{k+2}{2k+2}$•$\frac{k+3}{k+2}$•$\frac{k+1}{k+2}$=$\frac{k+3}{2（k+2）}$=$\frac{k+1+2}{2（k+1）+2}$．
∴當n=k+1時，結論成立，
綜上，對任意正整數n∈N，都有$f（n）=\frac{n+2}{2n+2}$．

點評 本題考查了數學歸納法猜想并證明，屬于中檔題．