Question

18．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x+a|+|x-1|，}&{x＞0}\\{{x}^{2}-ax+2，}&{x≤0}\end{array}\right.$的最小值為a+1，則實數a的取值范圍為{-2-2$\sqrt{2}$}∪[-1，1]．

Answer 1

分析 討論-a與0，1的大小關系，判斷f（x）在兩區間（-∞，0]和（0，+∞）上的單調性與最小值，列不等式解出a的范圍．

解答 解：（1）若-a≤0，即a≥0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a+1，0＜x≤1}\\{2x+a-1，x＞1}\\{{x}^{2}-ax+2，x≤0}\end{array}\right.$，
∴f（x）在（-∞，0]上單調遞減，最小值為f（0）=2，在（0，+∞）上最小值為a+1，
故只需2≥a+1即可，解得0≤a≤1；
（2）若0＜-a≤1，即-1≤a＜0時，則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-a+1，0＜x≤-a}\\{a+1，-a＜x＜1}\\{2x+a-1，x≥1}\\{{x}^{2}-ax+2，x≤0}\end{array}\right.$，
∴f（x）在（-∞，0]上先減后增，最小值為f（$\frac{a}{2}$）=2-$\frac{{a}^{2}}{4}$，在（0，+∞）上最小值為a+1，
故只需2-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥a+1即可，解得-2-2$\sqrt{2}$≤a≤-2+2$\sqrt{2}$，
又-1≤a＜0，∴-1≤a＜0，
（3）若-a＞1，即a＜-1時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-a+1，0＜x≤1}\\{-a-1，1＜x＜-a}\\{2x+a-1，x≥-a}\\{{x}^{2}-ax+2，x≤0}\end{array}\right.$，
∴f（x）在（-∞，0]上先減后增，最小值為f（$\frac{a}{2}$）=2-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
f（x）在（0，+∞）上的最小值為-a-1＞0，
而f（x）的最小值為a+1＜0，故只需令2-$\frac{{a}^{2}}{4}$=a+1即可，解得a=-2-2$\sqrt{2}$或a=-2+2$\sqrt{2}$（舍），
綜上，a的取值范圍是{-2-2$\sqrt{2}$}∪[-1，1]．
故答案為：{-2-2$\sqrt{2}$}∪[-1，1]．

點評 本題考查了分段函數的單調性與最值計算，分類討論思想，屬于中檔題．