Question

12．橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的左焦點(diǎn)為F₁，對(duì)定點(diǎn)M（6，4），若P為橢圓上一點(diǎn)，則|PF₁|+|PM|的最大值為15．

Answer 1

分析 由橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1可得：a²=25，b²=16，c=3．由|PM|+|PF₁|=2a+|PM|-|PF₂|≤2a+|MF₂|，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)M、F₂、P共線時(shí)取等號(hào)．

解答 解：由橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1焦點(diǎn)在x軸上，可得：a²=25，b²=16．
∴a=5，b=4，c=3．
∴F₂（3，0），|MF₂|=5．
∴|PM|+|PF₁|=2a+|PM|-|PF₂|≤2×5+|MF₂|=15，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)M、F₂、P共線時(shí)取等號(hào)．
故答案為：15．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、最大值問(wèn)題的轉(zhuǎn)化為三角形的三邊關(guān)系，屬于中檔題