Question

14．已知定義在區間（-1，1）上的增函數f（x）=$\frac{ax+b}{{x}^{2}+1}$為奇函數，且f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）解關于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析 （1）根據函數奇偶性和特殊值建立方程關系求出a，b的值即可．
（2）根據函數奇偶性和單調性的關系將不等式進行轉化求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）是在區間（-1，1）上的奇函數，
∴f（0）=b=0
又$f（\frac{1}{2}）=\frac{{\frac{a}{2}+b}}{{1+\frac{1}{4}}}=\frac{2}{5}$，
∴a=1∴$f（x）=\frac{x}{{1+{x^2}}}$
（2）∵f（t-1）+f（t）＜0，且f（x）為奇函數，
∴f（t）＜-f（t-1）=f（1-t）
又函數f（x）在區間（-1，1）上是增函數∴$\left\{\begin{array}{l}t＜1-t\\-1＜t＜1\\-1＜1-t＜1\end{array}\right.$，解得$0＜t＜\frac{1}{2}$
故關于t的不等式的解集為$\left\{{t|0＜t＜\frac{1}{2}}\right\}$．

點評 本題主要考查函數解析式的求解，利用函數奇偶性和單調性的性質進行轉化是解決本題的關鍵．