Question

19．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一條漸近線方程為y=$\frac{4}{3}$x，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{5}{3}$
• B． $\frac{5}{3}$ 或$\frac{5}{4}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 根據題意，由雙曲線的標準方程可得其漸近線方程為y=±$\frac{b}{a}$x，結合題意可得$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$，即b=$\frac{4}{3}$a，由雙曲線的幾何性質可得c=$\frac{5}{3}$a，進而由離心率公式計算可得答案．

解答 解：根據題意，雙曲線的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，則其焦點在x軸上，
那么其漸近線方程為y=±$\frac{b}{a}$x，
又由該雙曲線的一條漸近線方程為y=$\frac{4}{3}$x，
則有$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$，即b=$\frac{4}{3}$a，
則c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{5}{3}$a，
其離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$；
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質，注意要先由雙曲線的標準方程分析出其焦點的位置．