Question

4．如圖，已知ABCD是上、下底邊長分別為2和6，高為$\sqrt{3}$的等腰梯形，將它沿對稱軸OO₁折成直二面角．
（1）證明：AC⊥BO₁；
（2）求二面角O-AC-O₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由OA⊥OO₁，OB⊥OO₁，知∠AOB是所折成的直二面角的平面角，從而OA⊥OB，進而推導出OC⊥BO₁，由此能證明AC⊥BO₁．
（2）推導出BO₁⊥平面AOC，設OC∩O₁B=E，過點E作EF⊥AC于F，連結O₁F，則∠O₁FE是二面角O-AC-O₁的平面角，由此能求出二面角O-AC-O₁的余弦值．

解答 證明：（1）由題設知OA⊥OO₁，OB⊥OO₁，
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，
即OA⊥OB
從而AO⊥平面OBCO₁，
OC是AC在面OBCO₁內的射影
因為tan∠OO₁A=$\frac{OB}{O{O}_{1}}$=$\sqrt{3}$，tan∠O₁OC=$\frac{{O}_{1}C}{O{O}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以∠OO₁B=60°，∠O₁OC=30°，
從而OC⊥BO₁
由三垂線定理得AC⊥BO₁．
解：（2）由（1）AC⊥BO₁，OC⊥BO₁，知BO₁⊥平面AOC
設OC∩O₁B=E，過點E作EF⊥AC于F，連結O₁F（如圖），
則EF是O₁F在平面AOC 內的射影，
由三垂線定理得O₁F⊥AC
所以∠O₁FE是二面角O-AC-O₁的平面角
由題設知OA=3，OO₁=$\sqrt{3}$，O₁C=1，
所以${O}_{1}A=\sqrt{O{A}^{2}+O{{O}_{1}}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{{O}_{1}{A}^{2}+{O}_{1}{C}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
從而${O}_{1}F=\frac{{O}_{1}A•{O}_{1}C}{AC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$，
又O₁E=OO₁•sin30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以sin∠O₁FE=$\frac{{O}_{1}E}{{O}_{1}F}$=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
cos∠O₁FE=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{13}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴二面角O-AC-O₁的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．