Question

4．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，過F且傾斜角為60°的直線l與拋物線C在第一、四象限分別交于A、B兩點，與它的準線交于點P，則$\frac{|AB|}{|AP|}$=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 設出A、B坐標，利用焦半徑公式求出|AB|，結合x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，求出A、B的坐標，然后求其比值．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
|AB|=x₁+x₂+p=$\frac{2p}{si{n}^{2}60°}$=$\frac{8}{3}$p，即有x₁+x₂=$\frac{5}{3}$p，
由直線l傾斜角為60°，
則直線l的方程為：y-0=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），
聯立拋物線方程，消去y并整理，12x²-20px+3p²=0，
則x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，可得x₁=$\frac{3}{2}$p，x₂=$\frac{1}{6}$p，
則|AP|=4p，
∴$\frac{|AB|}{|AP|}$=$\frac{2}{3}$，
故答案為$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查直線的傾斜角，拋物線的簡單性質，考查學生分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．