Question

16．過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（b＞a＞0）$的左焦點F₁（-c，0）（c＞0）作圓x²+y²=$\frac{{a}^{2}}{4}$的切線，切點為E，延長F₁E交雙曲線右支于點P．若E是F₁P中點，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{2}$

Answer 1

分析 通過雙曲線的特點知原點O為兩焦點的中點，利用中位線的性質，求出PF′的長度及判斷出PF′垂直于PF，通過勾股定理得到a，c的關系，進而求出雙曲線的離心率．

解答 解：如圖，記右焦點為F′，則O為FF′的中點，
∵E為PF的中點，
∴OE為△FF′P的中位線，
∴PF′=2OE=a，
∵E為切點，
∴OE⊥PF，
∴PF′⊥PF，
∵點P在雙曲線上，
∴PF-PF′=2a，
∴PF=PF′+2a=3a，
在Rt△PFF′中，有：PF²+PF′²=FF′²，
∴9a²+a²=4c²，即10a²=4c²，
∴離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故選：D．

點評 本題主要考查雙曲線的簡單性質、圓的方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，在圓錐曲線中，求離心率關鍵就是求三參數a，b，c的關系，注意解題方法的積累，屬于中檔題．