Question

8．設p：實數x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0；q：實數x滿足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6≤0}\\{{x}^{2}+3x-10＞0}\end{array}\right.$．
（Ⅰ）若a=1，且p∧q為真，求實數x的取值范圍；
（Ⅱ）若q是p的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0；化為（x-3a）（x-a）＜0，解得x范圍．q：實數x滿足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6≤0}\\{{x}^{2}+3x-10＞0}\end{array}\right.$，化為：$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤3}\\{x＞2或x＜-5}\end{array}\right.$，根據當p∧q為真，即可得出實數x的取值范圍是（2，3）．
（II）根據q是p的充分不必要條件，可得$\left\{\begin{array}{l}{3a＞3}\\{a≤2}\end{array}\right.$，解得實數a的取值范圍．

解答 解：（I）由x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0；化為（x-3a）（x-a）＜0，解得a＜x＜3a．a=1時，1＜x＜3．
q：實數x滿足$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6≤0}\\{{x}^{2}+3x-10＞0}\end{array}\right.$，化為：$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤3}\\{x＞2或x＜-5}\end{array}\right.$，解得2＜x≤3．
當p∧q為真，則$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{2＜x≤3}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3．
∴實數x的取值范圍是（2，3）．
（II）∵q是p的充分不必要條件，∴$\left\{\begin{array}{l}{3a＞3}\\{a≤2}\end{array}\right.$，解得1＜a≤2．
∴實數a的取值范圍是（1，2]．

點評 本題考查了不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．