Question

19．已知函數f（x）=2x³-3x²-12x+5．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點x=1處的切線方程；
（Ⅱ）求函數y=f（x）在[0，3]的最值．

Answer 1

分析 （I）利用切線的斜率是函數在切點處導數，求出切線斜率，再利用直線方程的點斜式求出切線方程．
（II）先求導函數，確定函數在閉區間[-2，3]上的極值點及端點的值，進而計算極值點及端點的函數值可確定函數的最值．

解答 解：（Ⅰ）將x=1代入函數解析式得y=-8，------------------------（2分）
函數f（x）=2x³-3x²-12x+5．
y'=6x²-6x-12=6（x-2）（x+1），所以y'|_x=1=-12----------------------------------（4分）
由直線方程的點斜式得y+8=-12（x-1）
所以函數在x=1處的切線方程為12x+y-4=0----------------------------------（6分）
（Ⅱ）y'=6x²-6x-12=6（x-2）（x+1）=0，
解得x=2或x=-1------------------------（8分）
x∈[0，3]
由于f（0）=5，f（2）=-15，f（3）=-4，-------------------------------（10分）
∴y_max=5，y_min=-15------------------------------（12分）

點評 本題以函數為載體，考查函數導數的幾何意義、利用導數求閉區間上函數的最值，解題的關鍵是利用導數工具．屬于導數的基礎題．