Question

2．在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=5且|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|=4，則△ABC面積的最大值為（　　）

• A． 6
• B． $\frac{15}{2}$
• C． 10
• D． 12

Answer 1

分析 設(shè)A、B、C所對邊分別為a，b，c，由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=5且|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|=4，得bccosA=5，a=4，結(jié)合余弦定理可得b²+c²，再由基本不等式可得bc最大值，即可求出△ABC面積的最大值．

解答 解：設(shè)A、B、C所對邊分別為a，b，c，
由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=5，|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|=4，得bccosA=5，a=4，①
S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bc$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{1}{2}$bc$•\sqrt{1-\frac{25}{{b}^{2}{c}^{2}}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{{b}^{2}{c}^{2}-25}$，
由余弦定理可得b²+c²-2bccosA=16，②
由①②消掉cosA得b²+c²=26，
∴bc≤$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2}$=13，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=$\frac{13}{2}$時取等號，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{b}^{2}{c}^{2}-25}$≤6，
∴△ABC的面積的最大值為6．
故選：A．

點評 本題考查平面向量數(shù)量積的運算、三角形面積公式、基本不等式求最值等知識，綜合性較強，屬中檔題．