Question

若動直線x=a與函數f（x）=sin（x+

π

6

）+sin（x-

π

6

）和g（x）=cosx的圖象分別交于M，N兩點，則|

MN

|的最大值為

2

．

Answer 1

分析：依題意可設M（x₀，

3

sinx₀），N（x₀，cosx₀），|MN|=|

3

sinx₀-cosx₀|，利用輔助角公式即可．

解答：解：函數f（x）=sin（x+

π

6

）+sin（x-

π

6

）=sinxcos

π

6

+cosxsin

π

6

+sinxcos

π

6

-cosxsin

π

6

=

3

sinx．
設M（x₀，

3

sinx₀），N（x₀，cosx₀），
則|MN|=|

3

sinx₀-cosx₀|=|2sin（ x₀ -

π

6

）|≤2，當且僅當 x₀ -

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z時，等號成立．
故|

MN

|的最大值為2，
故答案為 2．

點評：本題考查正弦函數與余弦函數的圖象，考查兩點間的距離公式與輔助角公式的應用，屬于中檔題．