Question

函數y=a^1-x（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny=1=0（mn＞0）上，則

2

m

+

1

n

的最小值為

3+2

2

．

Answer 1

分析：先確定定點A，利用點A在直線mx+ny=1（mn＞0）上，從而可得m+n=1，進而

2

m

+

1

n

=(

2

m

+

1

n

)(m+n)=3+

2n

m

+

m

n

，利用基本不等式，可求

2

m

+

1

n

的最小值

解答：解：∵函數y=a^1-x（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A，
∴A（1，1）
∵點A在直線mx+ny=1（mn＞0）上，
∴m+n=1
∴

2

m

+

1

n

=(

2

m

+

1

n

)(m+n)=3+

2n

m

+

m

n

∵mn＞0
∴

2n

m

＞0，

m

n

＞0
∴3+

2n

m

+

m

n

≥3+2

2

，當且僅當m=

1

3

，n=

2

3

時，取等號
∴

2

m

+

1

n

≥3+2

2

即

2

m

+

1

n

的最小值為 3+2

2

，當且僅當m=

1

3

，n=

2

3

時取得最小值
故答案為3+2

2

點評：本題重點考查基本不等式的運用，解題的關鍵是構建符合基本不等式的三個條件，屬于基礎題．