Question

函數y=a^1-x（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny-1=0（mn＞0）上，則

1

m

+

1

n

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：最值問題長利用均值不等式求解，適時應用“1”的代換是解本題的關鍵．函數y=a^1-x（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A，知A（1，1），點A在直線mx+ny-1=0上，得m+n=1又mn＞0，∴m＞0，n＞0，下用1的變換構造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．

解答：解：由已知定點A坐標為（1，1），由點A在直線mx+ny-1=0上，
∴m+n=1，
又mn＞0，∴m＞0，n＞0，
∴

1

m

+

1

n

=（

1

m

+

1

n

）（m+n）=

m+n

m

+

m+n

n

=2+

n

m

+

m

n

≥2+2•

n m • m n

=4，
當且僅當兩數相等時取等號．
故答案為4．．

點評：均值不等式是不等式問題中的確重要公式，應用十分廣泛．在應用過程中，學生常忽視“等號成立條件”，特別是對“一正、二定、三相等”這一原則應有很好的掌握．當均值不等式中等號不成立時，常利用函數單調性求最值．也可將已知條件適當變形，再利用均值不等式，使得等號成立．有時也可利用柯西不等式以確保等號成立，取得最值．