Question

已知直線x=1是函數f（x）的圖象的一條對稱軸，對任意x∈R，f（x+2）=-f（x），當-1≤x≤1時，f（x）=x³，求f（x）在R上的解析式．

Answer 1

考點：函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：根據題意，求出f（x）是周期為4的函數，再求出函數f（x）在x∈[1，3]時的解析式，
即得f（x）在一個周期內的解析式，從而得出函數f（x）在R上的解析式．

解答： 解：∵x=1是f（x）的圖象的一條對稱軸，∴f（x+2）=f（-x）；
又∵f（x+2）=-f（x），∴f（x）=-f（x+2）=-f（-x），
即f（-x）=-f（x）；
∴f（x）是奇函數；
又∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
∴函數的周期是T=4；
當x∈[1，3]時，x-2∈[-1，1]，
又∵當-1≤x≤1時，f（x）=x³，
∴f（x-2）=（x-2）³，
∴f（x）=f[（x-2）+2]=-f（x-2）=-（x-2）³，
∴當x∈[1，3]時，f（x）=-（x-2）³；
∴當x∈[-1，3]時，f（x）=

x3，x∈[-1，1) -(x-2)3，x∈[1，3]

；
又∵函數f（x）的周期為4，
∴當x∈R時，f（x）=

(x-4k)3，x∈[-1+4k，1+4k) -(x-2-4k)3，x∈[1+4k，3+4k]

，k∈Z．

點評：本題考查了函數的周期性與奇偶性的應用問題，也考查了分段函數的解析式的問題以及函數的對稱性問題，是綜合性題目．