Question

13．已知函數f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（x-1）（a＞0且a≠1）
（1）判斷函數f（x）+g（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）求使f（x）-g（2x）＞0成立的x的集合．

Answer 1

分析 （1）①要使函數f﹙x﹚+g﹙x﹚有意義，需 $\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$，由此求得函數f﹙x﹚+g﹙x﹚的定義域．
②根據函數F（x）的定義域不關于原點對稱，可得函數F（x）是非奇非偶函數．
（2）要解的不等式即log_a（1+x）＞log_a（2x-1），分當a＞1時 和當 0＜a＜1時兩種情況，分別利用對數函數的定義域及單調性求得不等式的解集．

解答 解：（1）①∵函數f﹙x﹚=log_a（1+x），g﹙x﹚=log_a﹙x-1﹚，
要使函數f﹙x﹚+g﹙x﹚有意義，需 $\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$，解得x＞1，
故函數f﹙x﹚+g﹙x﹚的定義域為（1，+∞）．
②令F（x）=f﹙x﹚+g﹙x﹚，則由①可得函數F（x）的定義域為（1，+∞），
不關于原點對稱，故函數F（x）是非奇非偶函數．
（2）由f﹙x﹚-g（2x）＞0可得 log_a（1+x）＞log_a（2x-1），
當a＞1時，不等式化為1+x＞2x-1＞0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜2，故不等式的解集為（$\frac{1}{2}$，2）；
當 0＜a＜1時，不等式化為2x-1＞x+1＞0，解得 x＞2，故不等式的解集為（2，+∞）．

點評 本題主要考查對數函數的圖象和性質綜合應用，對數不等式的解法，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于中檔題．