Question

A是橢圓長軸的一個端點，O是橢圓的中心，若橢圓上存在一點P，使∠OPA=

π

2

，則橢圓離心率的范圍是______．

Answer 1

設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，設 A （a，0），點P（acost，bsint）．
 由題意得，

PO

 •

PA

=0，∴（-acost，-bsint）•（a-acost，-bsint）=0，
∴（-acost ）•（a-acost ）+b²sin²t=0，化簡可得 c²cos²t-a²cost+a²-c²=0，
∴e²cos²t-cost+1-e²=0，∴e²=

1

1+cost

．
又∵0＜e＜1，0＜1+cost＜2，∴

1

2

＜e²＜1，∴

2

2

＜e＜1，
故答案為

2

2

＜

c

a

＜1．