Question

A是橢圓長軸的一個(gè)端點(diǎn)，O是橢圓的中心，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使∠OPA=

π

2

，則橢圓離心率的范圍是

 

．

Answer 1

分析：利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式得到（-acost，-bsint）•（a-acost，-bsint）=0，e²=

1

1+cost

，得到

1

2

＜e²＜1，
從而求得離心率的范圍．

解答：解：設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，設(shè) A （a，0），點(diǎn)P（acost，bsint）．
 由題意得，

PO

 •

PA

=0，∴（-acost，-bsint）•（a-acost，-bsint）=0，
∴（-acost ）•（a-acost ）+b²sin²t=0，化簡(jiǎn)可得 c²cos²t-a²cost+a²-c²=0，
∴e²cos²t-cost+1-e²=0，∴e²=

1

1+cost

．
又∵0＜e＜1，0＜1+cost＜2，∴

1

2

＜e²＜1，∴

2

2

＜e＜1，
故答案為

2

2

＜

c

a

＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，得到e²=

1

1+cost

是解題的關(guān)鍵．