Question

11．若sin（θ+$\frac{π}{3}$）=$\frac{5}{13}$，θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），則cosθ的值為$\frac{5\sqrt{3}-12}{26}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函數關系式以及和與差構造即可求解．

解答 解：sin（θ+$\frac{π}{3}$）=$\frac{5}{13}$，利用和與差構造即可求解．
∵θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），
∴θ+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{2}$，π）
∴cos（θ+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{12}{13}$．
那么：cosθ=cos[（θ+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=cos（θ+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$+sin$\frac{π}{3}$sin（θ+$\frac{π}{3}$）=$-\frac{12}{13}×\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{5}{13}$=$\frac{5\sqrt{3}-12}{26}$．
故答案為：$\frac{5\sqrt{3}-12}{26}$．

點評 本題考查了同角三角函數關系式以及和與差公式的計算．