【題目】已知函數
.
（1）當
時，求
的單調區間；
（2）若函數在定義域內是單調函數，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）遞減區間是
，單調遞增區間是
；（2）
.
【解析】
（1）將
代入函數
的解析式，求出函數的導數，分別解不等式
和
，可得出函數的減區間和增區間；
（2）由函數在定義域上為單調函數，可得知導函數
在定義域上沒有變號的零點，并設
，然后對
分
和
兩種情況討論，結合
判斷函數在區間
是否有變號的零點，從而可得出實數的取值范圍.
（1）當時，
，函數的定義域為.
求導得
，
令得
，令得
，
所以，函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是；
（2）
，記
，
若函數在定義域內是單調函數，則導函數在定義域內沒有變號零點，即函數
在沒有變號的零點.
根據二次函數的性質，時，
，
，一定有正根
，
在區間
上
，，函數單調遞減，
在區間
上
，，函數單調遞增，不合題意；
當時，若
，
此時，函數在定義域內是單調減函數，符合題意；
若
，此時有
，
，
則函數有兩個不相等的正根，函數有
個極值點，不是單調函數.
綜上所述，若函數在定義域內是單調函數，求實數的取值范圍是.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
（1）求直線和曲線的普通方程；
（2）已知點
，且直線和曲線交于
兩點，求
的值
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，曲線
(α為參數)經過伸縮變換
得到曲線C2．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．
(1)求C2的普通方程；
(2)設曲線C3的極坐標方程為
，且曲線C3與曲線C2相交于M，N兩點，點P(1，0)，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，射線
的方程為
，以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的方程為
.一只小蟲從點
沿射線向上以
單位/min的速度爬行
（1）以小蟲爬行時間
為參數，寫出射線的參數方程；
（2）求小蟲在曲線內部逗留的時間.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設有二元關系
，已知曲線
.
（1）若
時，正方形
的四個頂點均在曲線
上，求正方形的面積；
（2）設曲線與
軸的交點是
，拋物線
與
軸的交點是
，直線
與曲線
交于
，直線
與曲線交于
，求證直線
過定點，并求該定點的坐標；
（3）設曲線與軸的交點是
，
，可知動點
在某確定的曲線
上運動，曲線上與上述曲線在
時共有4個交點，其坐標分別是
、
、
、
，集合
的所有非空子集設為
，將
中的所有元素相加（若只有一個元素，則和是其自身）得到255個數
，求所有正整數
的值，使得
是一個與變數
及變數
均無關的常數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某社區
名居民參加
年國慶活動，他們的年齡在
歲至
歲之間，將年齡按
、
、
、
、
分組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.
（1）求
的值，并求該社區參加年國慶活動的居民的平均年齡（每個分組取中間值作代表）；
（2）現從年齡在、的人員中按分層抽樣的方法抽取
人，再從這人中隨機抽取
人進行座談，用
表示參與座談的居民的年齡在的人數，求的分布列和數學期望；
（3）若用樣本的頻率代替概率，用隨機抽樣的方法從該地歲至歲之間的市民中抽取
名進行調查，其中有
名市民的年齡在
的概率為
，當
最大時，求的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點A（0，1），拋物線C：y2＝ax（a＞0）的焦點為F，連接FA，與拋物線C相交于點M，延長FA，與拋物線C的準線相交于點N，若|FM|：|MN|＝1：2，則實數a的值為_____．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在復平面內，給出以下四個說法：
①實軸上的點表示的數均為實數；
②虛軸上的點表示的數均為純虛數；
③互為共軛復數的兩個復數的實部相等，虛部互為相反數；
④已知復數
滿足
，則在復平面內所對應的點位于第四象限.
其中說法正確的個數為（ ）
A.
B.
C.
D.
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