Question

5．已知x，y∈R⁺且3x+y=4，若不等式xy≤（x+3y）•a對任意x，y∈R⁺恒成立，則實數a的取值范圍是[$\frac{1}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 由已知可得，3x+y=4，再分離參數，利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．

解答 解：由x，y∈R⁺且3x+y=4，可得1=$\frac{1}{4}$（3x+y），
不等式xy≤（x+3y）•a對任意x，y∈R⁺恒成立，
即為a≥$\frac{xy}{x+3y}$對任意x，y∈R⁺恒成立，
由$\frac{xy}{x+3y}$=$\frac{1}{\frac{1}{y}+\frac{3}{x}}$，
因為$\frac{1}{y}$+$\frac{3}{x}$=$\frac{1}{4}$（3x+y）（$\frac{1}{y}$+$\frac{3}{x}$）=$\frac{1}{4}$（9+1+$\frac{3x}{y}$+$\frac{3y}{x}$）≥$\frac{1}{4}$（10+2$\sqrt{\frac{3x}{y}•\frac{3y}{x}}$）=$\frac{1}{4}$（10+6）=4，
當且僅當x=y=1時，取得最小值．
則a≥$\frac{1}{4}$．
則實數a的取值范圍是[$\frac{1}{4}$，+∞）．
故答案為：[$\frac{1}{4}$，+∞）．

點評 本題考查基本不等式的運用，注意運用乘1法和變形，考查不等式恒成立問題的解法，注意轉化為求函數的最值，考查運算能力，屬于中檔題．