Question

6．計(jì)算：$\sqrt{2}-1≈0.414，\sqrt{3}-\sqrt{2}$≈0.318；∴$\sqrt{2}-1＞\sqrt{3}-\sqrt{2}$；又計(jì)算：$\sqrt{5}-2≈0.236，\sqrt{6}-\sqrt{5}≈0.213，\sqrt{7}-\sqrt{6}$≈0.196，∴$\sqrt{5}-2＞\sqrt{6}-\sqrt{5}$，$\sqrt{6}-\sqrt{5}＞\sqrt{7}-\sqrt{6}$．
（1）分析以上結(jié)論，試寫(xiě)出一個(gè)一般性的命題．
（2）判斷該命題的真假，并給出證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給結(jié)論，可寫(xiě)出一個(gè)一般性的命題．
（2）利用綜合法證明命題是真命題．

解答 解：（1）一般性的命題n是正整數(shù)，則$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$＞$\sqrt{n+2}$-$\sqrt{n+1}$．
（2）命題是真命題．
∵$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$=$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$，$\sqrt{n+2}$-$\sqrt{n+1}$=$\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}$，$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$＞$\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}$，
∴$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$＞$\sqrt{n+2}$-$\sqrt{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查歸納推理，考查綜合法的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．