Question

12．已知集合A={x|（x+3）（x-6）≥0}，B={x|$\frac{x+2}{x-14}$＜0}．
（1）求A∩∁_RB；
（2）已知E={x|2a＜x＜a+1}（a∈R），若E⊆B，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡集合A、B，求出∁_RB與A∩∁_RB即可；
（2）由子集的定義，分E=∅和E≠∅時，求出實數a的取值范圍即可．

解答 解：（1）因為集合A={x|（x+3）（x-6）≥0}={x|x≤-3或x≥6}，
B={x|$\frac{x+2}{x-14}$＜0}={x|（x+2）（x-14）＜0}={x|-2＜x＜14}； （4分）
∁_RB={x|x≤-2或x≥14}，（6分）
所以A∩∁_RB={x|x≤-3或x≥14}； （8分）
（2）因為E={x|2a＜x＜a+1}（a∈R），且E⊆B，
所以分兩種情況：
當E=∅時，2a≥a+1解得a≥1；     （10分）
當E≠∅時，則2a＜a+1且滿足$\left\{\begin{array}{l}{2a≥-2}\\{a+1≤14}\end{array}\right.$解得-1≤a＜1； （13分）
綜上所述：實數a的取值范圍是a≥-1．（14分）

點評 本題考查了集合的化簡與運算問題，也考查了分類討論思想的應用問題，是基礎題目．