Question

15．《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中虛線平分矩形的面積，則該“塹堵”外接球的體積為$\frac{8\sqrt{2}π}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)三視圖的關(guān)系得出俯視圖的邊長，外接圓圓心為俯視圖的中心，故俯視圖對角線為外接球的直徑，從而可得球的體積．

解答 解：由三視圖可知直三棱柱的底面斜邊的高為1，斜邊長為2，
∴俯視圖矩形為邊長為2的正方形，
∵直三棱柱的底面是直角三角形，
∴外接球的球心為俯視圖的中心，
故外接球半徑R=$\frac{1}{2}×\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴外接球的體積V=$\frac{4}{3}π×（\sqrt{2}）^{3}$=$\frac{8\sqrt{2}π}{3}$．
故答案為$\frac{8\sqrt{2}π}{3}$．

點評 本題考查了棱柱與球的位置關(guān)系，幾何體的三視圖與體積計算，屬于中檔題．