Question

已知f（x）=3x²-5x-11．
①求二次函數的頂點坐標，對稱軸方程；
②證明x∈[1，+∞）時，f（x）單調遞增；

Answer 1

分析：①利用配方法將函數解析式變形，求出頂點坐標和對稱軸方程；
②根據定義法證明函數單調性的步驟：取值、作差、變形、判斷符號和下結論，變形時利用平方差公式．

解答：解：①f（x）=3x²-5x-11=3(x-

5

6

)2-3×

25

36

-11=3(x-

5

6

)2-

157

12

，
則二次函數的頂點坐標（

5

6

，-

157

12

），對稱軸方程是x=

5

6

．
證明：②設x₁＞x₂≥1，
則f（x₁）-f（x₂）=3x₁²-5x₁-11-（3x₂²-5x₂-11）=3（x₁²-x₂²）-5（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）[3（x₁+x₂）-5]
∵x₁＞x₂≥1，∴x₁-x₂＞0，x₁+x₂＞2，則3（x₁+x₂）-5＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴當x∈[1，+∞）時，f（x）單調遞增．

點評：本題的考點是二次函數的性質，一般利用配方法對函數解析式進行變形，只要證明函數的單調性必須用定義法證明．