Question

已知f（x）=-3x²+a（5-a）x+b
（1）當不等式f（x）＞0的解集為（-1，3）時，求實數a，b的值；
（2）若對任意實數a，f（2）＜0恒成立，求實數b的取值范圍；
（3）設b為已知數，解關于a的不等式f（1）＜0．

Answer 1

分析：（1）由題意知，-1和3是方程-3x²+a（5-a）x+b=0 的兩個根，由根與系數的關系得

-1+3= a(5-a) 3 -1•3= b -3

，解之可得結果．
（2）若f（2）＜0恒成立，可根據二次不等式恒成立的條件，構造關于b的不等式，解不等式可求出實數b的取值范圍；
（3）由b為已知數，可得關于a的二次不等式，分類討論后，綜合討論結果，可得答案．

解答：解：（1））∵不等式-3x²+a（5-a）x+b＞0的解集為（-1，3），
∴-1和3是方程-3x²+a（5-a）x+b=0 的兩個根，
∴

-1+3= a(5-a) 3 -1•3= b -3

解得：

a=2 b=9

，或

a=3 b=9

（2）若對任意實數a，f（2）＜0恒成立，
則-12+2a（5-a）+b＜0恒成立，
即-2a²+10a+b-12＜0恒成立，
則100+8（b-12）＜0
解得b＜-

1

2

（3）∵f（1）=-3+a（5-a）+b=-a²+5a+b-3，
∵f（1）＜0，
∴a²-5a+3-b＞0．
△=13+4b，
當△＜0，即b＜-

13

4

時，f（1）＜0 的解集為R；
當b≥-

13

4

時，a＜

5- 13+4b

2

，或a＞

5+ 13+4b

2

，
此時f（1）＜0的解集為{a|a＜

5- 13+4b

2

，或a＞

5+ 13+4b

2

}．

點評：本題考查一元二次不等式的解法，一元二次方程根與系數的關系，體現了分類討論的數學思想．