Question

如圖，已知四面體O-ABC中，E、F分別為AB，OC上的點，且AE=

1

3

AB，F為中點，若AB=3，BC=1，BO=2，且∠ABC=90°，∠OBA=∠OBC=60°，求異面直線OE與BF所成角的余弦值．

Answer 1

分析：本題可利用向量運算來解答，設空間一組基底

BO

，

BC

，

BA

，利用空間向量基本定理表示出向量

BF

，

OE

，可利用向量的數量積以及夾角公式解得向量

BF

，

OE

的夾角余弦值cos＜

BF

，

OE

＞，從而得到異面直線的夾角余弦值|cos＜

BF

，

OE

＞|．

解答：解：∵

BF

=

1

2

(

BO

+

BC

)，

OE

=

2

3

BA

-

BO

，
∴|

BF

|2=

1

4

(|

BO

|2+|

BC

|2+2

BO

•

BC

)=

1

4

(4+1+2|

BO

||

BC

|cos60°)=

7

4

，|

BF

|=

7

2

；|

OE

|2=

4

9

|

BA

|2+|

BO

|2-

4

3

BA

•

BO

=4+4-4=4，|

OE

|=2．
又

BF

•

OE

=

1

2

(

2

3

BA

•

BO

-|

BO

|2+

2

3

BC

•

BA

-

BC

•

BO

)=

1

2

(2-4-1)=-

3

2

，
∴cos＜

BF

，

OE

＞=

BF • OE

| BF || OE |

=

-3

2 7

=-

3 7

14

，
故異面直線OE與BF所成的角的余弦值為：

3 7

14

．

點評：本題考查空間幾何體的概念，異面直線以及異面直線所成角的概念，向量法解答幾何問題的“三步曲”思想的應用，考查了向量的數量積的運算律，夾角公式，空間向量基本定理的應用．