Question

如圖，已知在正四面體ABCD中，O為A在BCD面內(nèi)的射影，M為AO中點(diǎn)，求證MB、MC、MD兩兩垂直．

Answer 1

答案：
解析：

證明 設(shè)正四面體棱長為A．由ABCD為正四面體，知O為△BCD中心．延長BO，交CD于E，連結(jié)ME．BE=a，OE=a，BO=A．在Rt△AOB中，AO==，故MO=a． 在Rt△MBO中，MB=． ∵ ∴ BM⊥ME． 又由三垂線定理，知BM⊥CD，ME∩CD=E，故BM⊥平面MCD．又，故BM⊥MC，BM⊥MD． 同理可證MC⊥MD，MC⊥MB．故MB、MC、MD兩兩垂直． 本題還可在求出MB=a后，同理可知MC=MD=a． ∵， ∴MB⊥MC． 同理MB⊥MD，MD⊥MC． ∴MB、MC、MD兩兩垂直． 通過“計(jì)算”來證明線線垂直是此例證明的特點(diǎn)．