Question

若有窮數列a₁，a₂，a₃，…，a_m（m是正整數）滿足條件：a_i=a_m-i+1（i=1，2，3，…，m），則稱其為“對稱數列”．例如，1，2，3，2，1和1，2，3，3，2，1都是“對稱數列”．
（Ⅰ）若{b_n}是25項的“對稱數列”，且b₁₃，b₁₄，b₁₅，…，b₂₅是首項為1，公比為2的等比數列．求{b_n}的所有項和S；
（Ⅱ）若{c_n}是50項的“對稱數列”，且c₂₆，c₂₇，c₂₈，…，c₅₀是首項為1，公差為2的等差數列．求{c_n}的前n項和S_n，1≤n≤50，n∈N^*．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由b₁₃，b₁₄，b₁₅，…，b₂₅是首項為1，公比為2的等比數列求得b₁₃，b₁₄，b₁₅，…，b₂₅的值，然后結合對稱數列的概念求得b₁，b₂，…，b₁₄的值，則{b_n}的所有項和S可求；
（Ⅱ）依題意求出c₅₀=c₂₆+24×2=49，然后根據對稱數列的概念求得c₁=c₅₀=49，c₂=c₄₉=47，…，c₂₅=c₂₆=1．則分當1≤n≤25和26≤n≤50求得{c_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，b₁₃=1，b₁₄=2，…b₂₅=b13•212=212．
則b1=b25=212，b2=b24=211，…b₁₂=b₁₄=2．
S=2(b1+b2+…+b12)+1=2×

212[1-( 1 2 )12]

1- 1 2

+1=2¹⁴-3；
（Ⅱ）依題意，c₅₀=c₂₆+24×2=49，
∵{c_n}是50項的“對稱數列”，
∴c₁=c₅₀=49，c₂=c₄₉=47，…，c₂₅=c₂₆=1．
∴當1≤n≤25時，Sn=-n2+50n；
當26≤n≤50時，Sn=S25+(n-25)+

1

2

(n-25)(n-26)×2=n²-50n+1250．
∴Sn=

-n2+50n，1≤n≤25，n∈N* n2-50n+1250，26≤n≤50，n∈N*

．

點評：本題是新定義題，考查了對稱數列和等比數列的性質，考查了對稱數列和等比數列的前n項和，是中檔題．