Question

17．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，以M（1，0）為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+$\sqrt{2}$-1=0相切．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知點N（3，2），和平面內一點P（m，n）（m≠3），過點M任作直線l與橢圓C相交于A，B兩點，設直線AN，NP，BN的斜率分別為k₁，k₂，k₃，k₁+k₃=3k₂，試求m，n滿足的關系式．

Answer 1

分析 （1）由點到直線的距離公式d=$\frac{丨1+0-\sqrt{2}-1丨}{\sqrt{1+1}}$=1，求得b=1，由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，即可求得a的值，求得橢圓C的標準方程；
（2）當直線斜率不存在時，求出A，B的坐標，得到直線AN，BN的斜率，進一步得到NP的斜率，可得m，n滿足的關系式．當直線的斜率存在時，設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設直線l：y=k（x-1），代入橢圓方程，利用根與系數的關系求得直線AN，BN的斜率和，進一步得到NP的斜率，可得m，n滿足的關系式．

解答 解：（1）由橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），焦點在x軸上，
則M（1，0）到直線x-y+$\sqrt{2}$-1=0的距離d=$\frac{丨1+0-\sqrt{2}-1丨}{\sqrt{1+1}}$=1，
∴b=d=1，
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，解得：a=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的標準方程$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$；
（2）①當直線斜率不存在時，由$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ \frac{x^2}{3}+{y^2}=1\end{array}\right.$，解得x=1，$y=±\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
不妨設$A（1，\frac{{\sqrt{6}}}{3}）$，$B（1，-\frac{{\sqrt{6}}}{3}）$，
∵k₁+k₃=2，
∴${k_2}=\frac{2}{3}$，
∴m，n的關系式為3n=2m．
②當直線的斜率存在時，設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l：y=k（x-1），
聯立橢圓整理得：（3k²+1）x²-6k²x+3k²-3=0，
由韋達定理可知：x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=$\frac{3{k}^{2}-3}{3{k}^{2}+1}$，
∴${k_1}+{k_3}=\frac{{2-{y_1}}}{{3-{x_1}}}+\frac{{2-{y_2}}}{{3-{x_2}}}=\frac{{[{2-k（{x_1}-1）}]（3-{x_2}）+[{2-k（{x_2}-1）}]（3-{x_1}）}}{{（3-{x_1}）（3-{x_2}）}}$，
=$\frac{{2k{x_1}{x_2}-（4k+2）（{x_1}+{x_2}）+6k+12}}{{{x_1}{x_2}-3（{x_1}+{x_2}）+9}}$，
=$\frac{{2（12{k^2}+6）}}{{12{k^2}+6}}=2$．
∴${k_2}=\frac{2}{3}$，
∴m，n的關系式為3n=2m．

點評 本題考查橢圓標準方程的求法，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，點到直線的距離公式，直線的斜率公式的綜合應用，綜合性較強，運算量大，極易出錯，屬于中檔題．