Question

2．已知{a_n}為等差數列，且a_n≠0，公差d≠0．
（Ⅰ）證明：$\frac{{C}_{2}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{2}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{2}^{2}}{{a}_{3}}$=$\frac{2p9vv5xb5^{2}}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$
（Ⅱ）根據下面幾個等式：$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\fracp9vv5xb5{{a}_{1}{a}_{2}}$；$\frac{{C}_{2}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{2}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{2}^{2}}{{a}_{3}}$=$\frac{2p9vv5xb5^{2}}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$；$\frac{{C}_{3}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{3}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{3}^{2}}{{a}_{3}}$-$\frac{{C}_{3}^{3}}{{a}_{4}}$=$\frac{6p9vv5xb5^{3}}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}{a}_{4}}$

；$\frac{{C}_{4}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{4}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}}{{a}_{3}}$-$\frac{{C}_{4}^{3}}{{a}_{4}}$+$\frac{{C}_{4}^{4}}{{a}_{5}}$=$\frac{24p9vv5xb5^{4}}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}{a}_{4}{a}_{5}}$，…
試歸納出更一般的結論，并用數學歸納法證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據等差數列的和排列組合公式計算即可證明，
（Ⅱ）猜想結論：$\frac{{C}_{n-1}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{n-1}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{n-1}^{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{（-1）^{n+1}{C}_{n-1}^{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n-1）！p9vv5xb5^{n-1}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$，并數學歸納法證明即可．

解答 解：（Ⅰ）左邊=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{2}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$=$\frac{{{a}_{2}（a}_{2}+d）}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{2（{a}_{2}-d）（{a}_{2}+d）}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{{a}_{2}（{a}_{2}-d）}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$=$\frac{2p9vv5xb5^{2}}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$=右邊，
故等式成立
（Ⅱ）結論：$\frac{{C}_{n-1}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{n-1}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{n-1}^{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{（-1）^{n+1}{C}_{n-1}^{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n-1）！p9vv5xb5^{n-1}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$
證：①當n=2，3，4時，等式成立，
②假設當n=k時，$\frac{{C}_{K-1}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{k-1}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{k-1}^{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{（-1）^{k+1}{C}_{k-1}^{k-1}}{{a}_{k}}$=$\frac{（k-1）！p9vv5xb5^{k-1}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{k}}$成立，
那么當n=k+1時，因為${C}_{k}^{k-1}={C}_{k-1}^{k-1}+{C}_{k-1}^{k-2}$，所以$\frac{{C}_{k}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{k}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{k}^{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{（-1）^{k+2}{C}_{k}^{k}}{{a}_{k+1}}$
=$\frac{{C}_{k-1}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{k-1}^{1}+{C}_{k-1}^{0}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{k-1}^{2}+{C}_{k-1}^{1}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{（-1）^{k+1}（{C}_{k-1}^{k-1}+{C}_{k-1}^{k-2}）}{{a}_{k}}$+$\frac{（-1）^{k+2}{C}_{k-1}^{k-1}}{{a}_{k+1}}$
=（$\frac{{C}_{K-1}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{k-1}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{k-1}^{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{（-1）^{k+1}{C}_{k-1}^{k-1}}{{a}_{k}}$）-（$\frac{{C}_{k-1}^{0}}{{a}_{2}}$-$\frac{{C}_{k-1}^{1}}{{a}_{3}}$+$\frac{{C}_{k-1}^{2}}{{a}_{4}}$+…+$\frac{（-1）^{k+1}{C}_{k-1}^{k-1}}{{a}_{k+1}}$）
=$\frac{（k-1）！p9vv5xb5^{k-1}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{k}}$-$\frac{（k-1）!p9vv5xb5^{k-1}}{{a}_{2}{a}_{3}…{a}_{k+1}}$=$\frac{（k-1）!p9vv5xb5^{k-1}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{k+1}}$（a_k+1-a₁）=$\frac{k!p9vv5xb5^{k}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{k+1}}$
所以，當n=k+1時，結論也成立．
綜合①②知，$\frac{{C}_{n-1}^{0}}{{a}_{1}}$-$\frac{{C}_{n-1}^{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{C}_{n-1}^{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{（-1）^{n+1}{C}_{n-1}^{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n-1）！p9vv5xb5^{n-1}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$對n≥2都成立

點評 本題考查數學歸納法，考查了排列組合的問題，著重考查歸納與推理證明的能力，屬于中檔題．