Question

3．將函數f（x）=Asin（ωx+ϕ）（ω＞0，|ϕ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$單位后得到的函數圖象關于直線x=$\frac{π}{2}$對稱，且平移后所得函數的單調遞增區間為$（0，\frac{π}{2}）$，則實數ϕ的值為$-\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律得到平移后函數解析式為g（x）=Asin（ωx-$\frac{ωπ}{12}$+φ）．由已知條件推知該函數的最小正周期為π，易得ω=2，然后結合正弦函數圖象的對稱性質來求φ的值即可．

解答 解：將函數$f（x）=Asin（ωx+ϕ）（ω＞0，|ϕ|＜\frac{π}{2}）$的圖象向右平移$\frac{π}{12}$單位后得到的函數g（x）=Asin（ωx-$\frac{ωπ}{12}$+φ）．
∵函數f（x）=Asin（ωx-$\frac{ωπ}{12}$+φ）的單調遞增區間為$（0，\frac{π}{2}）$，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=π，則ω=2，
又平移后得到的函數圖象關于直線x=$\frac{π}{2}$對稱，
∴2×$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$（k∈Z），
則φ=$-\frac{π}{3}$．
故答案是：$-\frac{π}{3}$．

點評 本題主要考查正弦函數的圖象的對稱性，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，正弦函數的單調性，屬于基礎題．