Question

8．已知直線ax+by+c=0始終平分圓C：x²+y²-2x+4y-4=0（C為圓心）的周長，設直線l：（2a-b）x+（2b-c）y+（2c-a）=0，過點P（6，9）作l的垂線，垂足為H，則線段CH長度的取值范圍是[$\sqrt{2}，9\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 確定直線過定點M（4，-5），由題意，H在以PM為直徑的圓上，圓心為A（5，2），方程為（x-5）²+（y-2）²=50，即可求出線段CH長度的取值范圍．

解答 解：由題意，圓心C（1，-2）在直線ax+by+c=0上，可得a-2b+c=0，即c=2b-a．
直線l：（2a-b）x+（2b-c）y+（2c-a）=0，即a（2x+y-3）+b（4-x）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-3=0}\\{4-x=0}\end{array}\right.$，可得x=4，y=-5，即直線過定點M（4，-5），
由題意，H在以PM為直徑的圓上，圓心為A（5，2），方程為（x-5）²+（y-2）²=50，
∵|CA|=4$\sqrt{2}$
∴CH最小為5$\sqrt{2}-4\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，CH最大為4$\sqrt{2}+5\sqrt{2}=9\sqrt{2}$，
∴線段CH長度的取值范圍是[$\sqrt{2}，9\sqrt{2}$]．
故答案為[$\sqrt{2}，9\sqrt{2}$]．

點評 本題考查直線過定點，考查線段CH長度的取值范圍，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．