Question

13．（理科）如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是AC的中點，E是線段D₁O上一點，且$\frac{{D}_{1}E}{EO}$=λ．
（1）若λ=$\frac{5}{6}$，求異面直線DE與CD₁所成角的余弦值；
（2）若二面角D₁-CE-D為$\frac{2}{3}$π，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）設正方體的棱長為1，分別以DA、DC、DD₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線DE與CD₁所成角的余弦值．
（2）求出平面CD₁E的法向量和平面CDE的法向量，利用向量法能求出結果．

解答 解：（1）設正方體的棱長為1，
分別以DA、DC、DD₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則A（1，0，0），O（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），C（0，1，0），D₁（0，0，1），
D（0，0，0），
設E（x₀，y₀，z₀），∵$\frac{{D}_{1}E}{EO}$=$\frac{5}{6}$，∴$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{EO}$，
∴（x₀，y₀，z₀-1）=$\frac{5}{6}$（$\frac{1}{2}-{x}_{0}$，$\frac{1}{2}-{x}_{0}$，-x₀），
解得x₀=$\frac{5}{22}$，y₀=$\frac{5}{22}$，z₀=$\frac{6}{11}$，
E（$\frac{5}{22}$，$\frac{5}{22}$，$\frac{6}{11}$），
∴$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{5}{22}$，$\frac{5}{22}$，$\frac{6}{11}$），CD₁=（0，-1，1），
∴cos＜$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{C{D}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{C{D}_{1}}}{|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{C{D}_{1}}|}$=$\frac{7\sqrt{97}}{194}$，
∴異面直線DE與CD₁所成角的余弦值為$\frac{7\sqrt{97}}{194}$．
（2）設平面CD₁E的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{CO}$=（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=（0，-1，1），$\overrightarrow{DC}$=（0，1，0），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CO}=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C{D}_{1}}=-y+z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
由$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=λ$\overrightarrow{EO}$，得E（$\frac{λ}{2（1+λ）}$，$\frac{λ}{2（1+λ）}$，$\frac{1}{1+λ}$），$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{λ}{2（1+λ）}$，$\frac{λ}{2（1+λ）}$，$\frac{1}{1+λ}$），
設平面CDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=\frac{λ}{2（1+λ）}x+\frac{λ}{2（1+λ）}y+\frac{1}{1+λ}z=0}\end{array}\right.$，取x=-2，得$\overrightarrow{n}$=（-2，0，λ），
∵二面角D₁-CE-D為$\frac{2}{3}$π，
∴|cos$\frac{2π}{3}$|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|λ-2|}{\sqrt{3}•\sqrt{{λ}^{2}+4}}$，
解得λ=8-2$\sqrt{15}$．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查實數值的求法，是中檔題，解題時要 認真審題，注意向量法的合理運用．