Question

17．設(shè)點M，N的坐標分別為（-2，0），（2，0），直線MP，NP相交于點P，且它們的斜率之積是-$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過定點E（0，2）的直線l與曲線C交于不同的兩點A、B，且∠AOB為鈍角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）設(shè)P（x，y），可得$\frac{y}{x+2}$•$\frac{y}{x-2}$=-$\frac{1}{4}$，（x≠±2），化簡即可得出．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的方程為：y=kx+2．與橢圓方程聯(lián)立化為：（1+4k²）x²+16kx+12=0，
△＞0，解得k范圍．∠AOB為鈍角（其中O為坐標原點），可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂＜0，進而得出范圍．

解答 解：（I）設(shè)P（x，y），則$\frac{y}{x+2}$•$\frac{y}{x-2}$=-$\frac{1}{4}$，化為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1（x≠±2）．
∴點P的軌跡C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1（x≠±2）．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的方程為：y=kx+2．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為：（1+4k²）x²+16kx+12=0，
△=256k²-48（1+4k²）＞0，解得：$k＜-\frac{\sqrt{3}}{2}$或k$＞\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴x₁+x₂=$\frac{-16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$．
∵∠AOB為鈍角（其中O為坐標原點），
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）＜0，
即k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4＜0，
∴k²•$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$+2k•$\frac{-16k}{1+4{k}^{2}}$+4＜0，
化為：k²＞1，與$k＜-\frac{\sqrt{3}}{2}$或k$＞\frac{\sqrt{3}}{2}$聯(lián)立，
解得k＞1或k＜-1．（不經(jīng)過點（±2，0））
∴直線l的斜率k的取值范圍是（-∞，-1）∪（1，+∞）．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、不等式的解法、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．