Question

6．若實數x，y滿足x²+y²-2x-2y+1=0，則$\frac{y+1}{x+1}$的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$，$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$）
• B． [$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$，$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$]
• C． （-∞，$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$）∪（$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$，+∞）
• D． （-∞，$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$]∪[$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 方程即 （x-1）²+（y-1）²=1，表示一個以C（1，1）為圓心、半徑等于1的圓．$\frac{y+1}{x+1}$表示圓上的點（x y）與點A（-1，-1）連線的斜率．求出圓的兩條切線方程，可得切線斜率k的范圍即可．

解答 解：x²+y²-2x-2y+1=0 即 （x-1）²+（y-1）²=1，表示一個以C（1，1）為圓心、半徑等于1的圓．
$\frac{y+1}{x+1}$表示圓上的點（x y）與點A（-1，-1）連線的斜率．
設圓的過點A的一條切線斜率為k，
則切線的方程為 y+1=k（x+1），即 kx-y+k-1=0．
由圓心到切線的距離等于半徑可得$\frac{|2k-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，k=$\frac{4±2\sqrt{7}}{3}$．
故切線的斜率k的范圍為[$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$，$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$]．
故選：B．

點評 本題主要考查圓的標準方程、直線的斜率公式、點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題．