Question

9．已知復(fù)數(shù)z₁=2-3i，${z_2}=\frac{15-5i}{{{{（2+i）}^2}}}$，求：
（1）z₁•z₂；
（2）若z∈C，且|z-z₁|=1，求|z-z₂|的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡求得z₂，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算求z₁•z₂；
（2）由復(fù)數(shù)模的幾何意義作圖得答案．

解答 解：（1）∵z₂=$\frac{15-5i}{（2+i）2}$=$\frac{15-5i}{3+4i}$=$\frac{（15-5i）（3-4i）}{（3+4i）（3-4i）}$=$\frac{25-75i}{25}$=1-3i，
∴z₁z₂=（2-3i）（1-3i）=-7-9i；
（2）由|z-z₁|=1知，z在以（2，-3）為圓心，以1為半徑的圓上，
如圖：z₂在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)為B（1，-3），
∴當(dāng)z₁對應(yīng)點(diǎn)為A（3，-3）時(shí)，|z-z₂|的最大值為2．

點(diǎn)評 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)模的求法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是基礎(chǔ)題．