Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b=1，a=2c，則sinC的最大值為

 

．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：由a=2c，得到c對的角C為銳角，利用余弦定理表示出cosC，把a=2c，b=1代入變形后利用基本不等式求出cosC的最小值，即可確定出sinC的最大值．

解答： 解：∵△ABC中，b=1，a=2c，
∴C為銳角，cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

4c2+1-c2

4c

=

3c2+1

4c

=

3

4

c+

1

4c

≥2×

3

4

=

3

2

，
當且僅當

3

4

c=

1

4c

，即c=

3

時取等號，
∴cosC的最小值為

3

2

，
∵sinC=

1-cos2C

，
∴sinC的最大值為

1

2

，
故答案為：

1

2

點評：此題考查了余弦定理，以及基本不等式的運用，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．