Question

15．“對任意x∈（0，$\frac{π}{2}$），ksin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$＞ln（x+1）”是“k≥2”的（　　）

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充分必要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 對不等式整理得出k＞$\frac{2ln（x+1）}{sinx}$，構造函數得出右式恒小于2．結合充分條件和必要條件的概念判斷即可．

解答 解：ksin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$＞ln（x+1），即為$\frac{k}{2}$sinx＞ln（x+1），
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴0＜sinx＜1，
∴k＞$\frac{2ln（x+1）}{sinx}$，
設f（x）=$\frac{2ln（x+1）}{sinx}$，顯然函數遞增，
則f（$\frac{π}{2}$）=2ln（$\frac{π}{2}$+1）＜2，
故由k≥2一定能得出ksin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$＞ln（x+1），反之不成立，
故選B．

點評 本題考查充要條件的判斷與應用，三角函數線的應用，考查邏輯推理能力．